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Full text of "E339--Sur le mouvement d'une corde, qui au commencement n'a été ébranlée que dans une partie"

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# 3 » 1 fit 

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SUR 

LE MOUVEMENT D’UNE CORDE 

QUI AU COMMENCEMENT N’A ETE ÉBRANLÉE 

' QJUE DANS UNE PARTIE, 

par M. EULER. 


J e crois que révolution de ce cas, où la corde n’a été dabord ébran* 
lée que dans une de Tes parties, fera très propre à dilïîper tous les 
doutes, que Mrs. Bernoulli & d’Alembert ont fufcirés contre ma 
Théorie des cordes vibrantes, ôtceux queM.de la Grange ale premier 1 
propofës dans les Aftes de la nouvelle Académie de Turin. Car l’un 
& l'autre de ces illuftres Adverfaires eft obligé de reconnoitre que ce 
cas n’eft pas renfermé dans leurs folutions du problème des cordes 
vibrantes: & partant, fi ma méthode en fournit une folution, ôtmême 
une telle, qui eft confirmée par l'expérience, il n’y aura plus aucun 
doute que cette méthode ne foit fondée dans la vérité, & beaucoup 
plus générale que celle d’où les Adverfaires ont tiré leur folution du 
problème des cordes vibrantes. 

a. Or, pour écarter tous les dourcs fur la généralité de ma 
méthode, il faut remarquer qu’on convient de part 6c d’autre, que 
ce problème ne fauroit être réfolu, que dans les cas où les éloigne- 
mens de la corde de là fituation naturelle font quafi infiniment petits, 

& outre cela encore l’inclinaifon de chacun de fes élcmens infiniment, 
petite. Cette condition eft abfolumenr néccflaire, puisqu’on eft obli- 
gé de fuppofer dans la folution, que chaque point M de la corde 
A MB fe meut toujours fur t’aopliquée MP perpendiculaire à la fi- Flanche V. 
tuation naturelle AP B; ce qui ne fàuroit arriver, à moins que toutes ^‘8* '■ 

Qjî 2 ces 


# 3°8 # 

ces appliquées PM ne foient infiniment petites, & que les tangentes 
aux points M ne foient infiniment peu inclinées à la droite A P H, 
afin que l’élément de la courbe M m puifle partout être regardé com- 
me égal à l’élément correfpondant de l’abfcifTe P p. • 

Fig ». 3 . Pour fe former une jufte idée de telles courbes, propres à 

repréfenter la figure d’une corde pendant fon mouvement de vibra- 
tion, on n’a qu’à conftruire fur la ligne AB une courbe quelconque 
ASS)? B, qui n’ait nulle part une tangente perpendiculaire à Taxe A B; 
alors, une telle courbe étant décrite, qu’on' diminue toutes fes appli- 
quées P;9ï en rai fon d’un nombre infini i à l’unité, de forrc que 
P50Ï: PM ~ / : 1 , & par ce moj en on obtiendra la courbe A MB, 
que la corde AB pourra recevoir dans fon mouvement: puisque 
non feulement chaque appliquée de la courbe AM B mais aufli l’in- 
clinaifon de chaque élément M m à l’axe AB, devient infiniment pe- 
tite. Au refte, on comprend aiféincnt que le mot d’infini ne doit pas 
ici être pris à la rigueur, & qu’il fuflit que le nombre i foie très 
grand. De ccite maniéré, toute courbe décrire for Taxe AB, pour- 
vu qu’elle n’ait nulle part une tangente perpendiculaire à l’axe, fournit 
une courbe propre à repréfenter la figure de la corde AB pendant 
fon mouvement de vibration. 

4 . Ici fe préfente d’abord cette queftion: fi toutes ces cour- 
bes font également propres à repréfenter la figure d’une cordc pendant 
fon mouvement? ou s'il y a encore quelque autre condition qu’il eft 
ncceflàire d’y ajourer? M. d’Alcmbert foutient qu’aucune autre figure 
ne fauroit convenir aux cordes vibrantes, que celles qui font conte- 
nues dans cette équation: 

y ~ A ûn — 4- B fin 4- C fin -f D fin — — 4- &c, 

où a marque la longueur de la corde Ali, x une abfcifTe quelcon- 
que A P, y l’appliquée PM, ar. 1 le rapport de la périphérie ou 
diamètre, & les lettres A, B, C, U &c. des coëfficiens infiniment 

peîhs. 


# 3°9 

pairs Donc, s’il arrivoir qu’on eût imprimé’ à k corde au commen- 
cement une figure qui ne fèroit pas contenue .dans cect.e équation , il 
fèroit auffi impoftîble d’en déterminer Je mouvement par le calcul. 

5. M. d’Alembert convient donc, qu’on pourroit donner 
aux cordes une infinité de figures initiales, qui ne fèroient pas compri- 
mes dans cette équation; mais, dans ces cas, il nie que la Théorie foit 
Xufïiiàme pour déterminer le mouvement dont les cordes feront agi- 
tées après avoir été relâchées. La rai (on qu’Jl en donne eft, que dans 
ces cas il fè trouveroit quelque élément où l’équation différentielle du 
fécond degré, tirée de la Théorie, ne Luroit plus avoir lieu, vu qu’il 
y auroit quelque particule qui n’évanouiroit plus par rapport aux au- 
tres quantités, comme onlefuppofe dans la Théorie; .de forteque dans 
cet élément on commettroit une erreur. Mais je réponds qu’une telle 
erreur commife dans un ou quelques élémens eft toujours infiniment 
petite, & ne fauroit troubler le réfultat total du calcul. En effet, 
quand on calcule le mouvement de quelque corps, on fùppofè partout 
l’accélération infiniment perire par rapport à la viteffe aétuelle du 
corps: & quoique cette fuppofhion (bit rauflè dans les premiers élé- 
mens ou le mouvement eft engendré, le calcul ne laiffe point d’être 
très jufte. 

6. Le même inconvénient fè rencontre presque dans toutes 
les applications du calcul intégral: quand il s’agit de trouver l’aire 
A PM parla formule fydx^ on y fuppofè que le vrai élément de 
cette aire étant le rrapeze PMw/>, le triangle Mm» eft infiniment pe- 
ti r par rapport au reètangle P M np m y àx : ce qui cependant n’eft 
pa* vrai dans k premier élément en A, à moins que la tangente en 
A ne convienne avec l’axe. Voudroit-on pour cela foutenir, que la 
formule intégrale fydx ne fàuroit être appliquée à des courbes, 
dont la rangenre au commencemeot A ne convient point avec l’axe 
même.’’ Or il me fèinble qu’il en eft de même des fcrupules que M. 
d’Alcmbert éleve contre ma fùlution du problème des cordes vibran- 
tes : vu que toutes fès difficultés ne tombent que fur les deux derniers 

QS 3 élé- 


Fig. h 


# 3T0 # 

,£lérrieris de fe-corcfe; jene nie pas, qu’en y appliquant le calcul, on ne 
■commette quelle ferre&r; maïs je fou rien s que dans la totalité certe 
erreur devient ; ihfinimenr petite & tout à 'fait nulle. 

7. La fblurion de M, Bernoulli revient aufîî entièrement â l’équa- 
tion rapporréeci deflu- (§.4.), & il Soutient que quelque compliqué que 
foit Te rtiouvementd’une corde, on le peut toujours en vifager comme un 
ftfllmblage de plufieurs o filiations régulières, qui le trouvent tant dans la 
•corde enriere que dans lès parties aliquores, indépendamment les unes 
des autres. C’etf de cc grand principe, qu’il a expliqué fort heureufe- 
ment le phénomène bien fingulier, que la même corde peut rendre à 
la fois plulîeurs Ions diffërens, qui font entr’eux comme les nombres 
naturels t, 2, 3, 4, 5 &c. De ce principe il s’enfuir, que quel que 
foit le mouvement d’une corde, à chaque inftant fa figure doit être 
exprimée par ladite équation 

V“ Afin — - 4 -Bfin — t— Cfin - 4 — Dfin 6tc. 

3 a a a a 

& parranr, puisqu’au commencemenr on peur avoir donné à la corde 
une figure quelconque, & que les figures qu’elle prend dans la fuire à 
chaque inftanr, en dépendent nécefïaircmem; il foudent que roures 
les figures poflibles font comprifes dans cette même équation, & qu’il 
éll: même luperftu de vouloir recourir à d’autres principes pour déter- 
miner le mouvement d’une corde, en regardant comme donnée la fi- 
gure qui lui a été imprimée au commencemenr. 

8. En eftër, puisque cerre équation contient une infinité de 
■eneffieiens A, B, C, D &c. dont chacun peut ê;re dérerminé à 
volonté, on les peut toujours déterminer en forte que la courbe 
pafie par une infinité de points donnés: d’où il femblc qu’on ne fini* 
toit décrire une ligne courbe, à laquelle cette équarion ne ptiflè être 
appliquée. Mais, quand même j’accorderois à M, Bernoulli cerre poffi- 
bili;é, il eft bien clair que l’exécution feroir encore afiujertie à des diffi- 
cultés informé ntàbles. Car, ayant donné dabord à la corde une cer- 
taine 


# SW # 

tainefiguïe, il fsiïdroir commencer partît terminer tous lestjits oojeffï : 
ciens en forte que l'équation réponde à, /une infinité de points de la fi* 
gqre, donnée ce. qui .ferait fans contredit pn ouvrage dont le plus 
hulule, calculateur ne viendrait jamais à bout. ■ -'Cependant , avant quç 
d’ayoir achevé cet. ouvssge, il fèra-imposfible de déterminer le. mou- 
vement de . la corde : gui demeurera par conféquent. toujours inconnu 
même au plus grand Géomare. 

9, Je ne crois donc faire aucun tort au mérite de 'la Co 
lurion de M. Bernoulli, quand je dis, qu’elle n|eft pas fuffifante pour 
déterminer lé. mouvemcm des cordes vibrantes’. en général,' c’eft ji 
dire, après qu’on leur a imprimé une figuré quelconque, jk à cet 
égard il me femble qu’on doit accorder une grande préférence à ma 
méthode &à celle de M. de la Grange. Puisque, quelle que foie la 
figure qu’on aura imprimée à la corde au commçnçémènt, quand 
meme auîfi elle ne ferait exprefiible par aucune ..équation, je fuis 
toujours en état de déterminer fon mouvement _ par une' conftr'uc- 
tion très fiinple & applicable ,à .tous .les cà$ poïfi^les, fâns.qu’àti- 
cune circonftance en puWTe arrêter le fuccès, Or cette même con- 
fit uftinn fournir .suffi, pour les cas qui font compris dans l’équation 
de M, Bernoulli, précifcment les mêmes'' folu lions .que. ce grand Géo- 
mètre. a .donnéeis > & partant je ne. vqjis aucune , raifbn, pourquoi 
cette conftrufliou lui p.uifle paroitre/fupejJIuë , .ou même lufpefté.' 

10. Mais il me fera encore permis de douter, .que toutes 
les figures pod-bles dont les cordes font fufceptibles, foient conte- 

. oues dans l’équation: ('rapportée, quoique le Nombre de fès termes 
puifTe être augmente. à l'infini. Eptre plüfiçpjs raifôn^qpe je, pour- 
rais alléguer pogr juftifier mes .doutes, le cas que jiai 1; ici-, en ..yqc, 
me fèmble fournir une preuve très convaincante; Car, fuppofimr 
qu’on n’air détourné au commencement qu’une partie de la corde Fig. j. 

,-AC de fon état naturel, &. qu’on lui ait donné la figure A MC, 
pendint^que le refte;CB eft demeuré dansfon état ,• naturel & rec- 

-.^ L1 ?>. d . e; ^ e c ( i*je'.la.%t«:ftdi>itialftÿtit. l été.conipoiee de la ligne 

courbe 


# ïïa # 

coiirbe A MC 5c de la droite CB', ce qui eft facile d'exécuter: 
alors il fera fans doute très difficile, pour ne pas- encore dire ïm- 
poffible, de déterminer les coëfficiens de l’équatiofi dé M; Bernoulli, 
en forte qu’elle 'éxpritne cerre figure mixte- d’une ligne courbe quel- 
conque AMC'fit d'une droire CB. Il fomble auflï pâr la derniè- 
re lenre de M. Bernoulli lui - même , qu’il regarde ; ce eas y comme 
non compris dans fa folution, fans parler des difficultés que U dé- 
termination des coëfficiens renfermeroit. 

1 1 . Mais 11 y a plus : le mouvement de cetré corde ne feu- 
roit en aucune maniéré être cnvifàgé comme un aflëmblage ou mé- 
lange de pluficurs oscillations fimplës <Sc régulières ; en quoi confiée 
l’eflence de la folution de M. Bernoulli. Car, au premier inftant 
après le relâchement de la corde, la foule partie A MC fera mife 
en mouvement, tandis que le refte CB demeure encore abfolument 
immobile, & fans aucune mouvement d’ofoillacion, pour lequel oh 
pùifle affigner' la longueur du pendule ifochrone.' Il éft vrai 
que, bientôt après, le mouvement fora'auffi fuccelfi veinent communi- 
qué à la partie CB, mais alors d’autres parties feront réduites en 
repos, & il n’y fauroit plus être queftion des pendules fimples ifo- 
chrones aux mouvemens de toutes les parties de la corde. ' Le 
mouvement' de la corde fora d’une nature tout à fait differente, qui 
ne fauroit être repréfentée'comme un mélange depîufieurS ofcillâ- 
tions fimples 6c régulières, conformément au principe de M. Ber- 
noulli. 

12 . Voilà donc un cas bien inconteftable, auquel la fblu- 

tîon de M, Bernoulli eft ’ahfolument inapplicable; &■ puisque ee cas 
a lieu toutes tes. fois que la corde n’a pas été ébranlée par toute 
fa'longueur, il y faut reconnoirre une infinité de cas non compris 
dans la folution de M. Bernoulli. Delà on fora au (fi obligé de m’ac- 
corder que, quand même Ja corde aura été ébranlée par toute fon 
étendue, il y aura encore une infinité de cas qù’il faut 1 égalé ment 
exclure de cette folutâôiv leur .mouvement fe : réglant fur -‘des prin- 
!.- cipes 


# 313 # 

cipes entièrement différé ns. Par conféquent, quelque ingénieufc 
que foie la folution de M. Bernoulli, on ne la fauroit regarder que 
comme une folution très particulière, qui ne s’étend qu a de certai- 
nes efpeces de vibrations, qu’on peut nommer régulières, pendant 
qu’une infinité d’autres efpeces irrégulières en font abfolument exclues, 

1 3. Cependant la conftruction générale que j’ai donnée autre- 
fois pour le mouvement des cordes vibrantes, s’étend également à tou- 
tes ces efpeces tant irrégulières que régulières; & pour le remspréfent 
où l’on continue de combattre ma confixiiftion en la regardant, ou com- 
me fauffe, ou fuperflue, je crois qu’il fera fort intérefTant', que j’en 
tire ici en détail la détermination du mouvement d’une corde qui 
n’a été ébranlée au commencement que dans une de fes parties. . 

J’ai tout lieu d’efperer, que M. Bernoulli en reconnoicra la Juliette, 
fur tout quand il verra le bel accord avec l’expérience ; mais M, ■ 
d’Alcmbert dira, fans doute, qu’il réfutera ma folution dans quelcun 
de les ouvrages qu’il publiera dans la fuite, 6c il fe contentera pour 
le prcfenc d’en avertir le public. Or, quoi qu’il en foir, je foumers 
ma folution entièrement au jugemenr du Public dans la confian- 
ce qu’elle fera approuvée au moins d’une partie, même avant que 
la réfutation paroifle. 

14. Je commencerai donc par mettre devant les yeux ma Fig. 4, 
conftruélion du problème des cordes vibrantes. Soit A B ta corde 
dans fa fituation naturelle, la longueur À B — a, fon poids ~ M, 
ôc la force dont elle eft tendue “ F, en fuppofatit la corde éga- 
lement épaiiïe par toute fa longueur. Qu’à cette corde on ai: don- 
né au commencement une figure quelconque A MB, dont, comme 
j’ai déjà remarqué, toutes les appliquées P M doivent être regardées 
comme infiniment petites. Cela pofe, on demande, après qu'on au- 
ra fubitement relâché la corde , quel fera fon mouvement dans la 
fuite? Il efl évident que, pour réfoudre cette queflion, il faut être 
en état d’alïîgner la figure de la corde pour chaque inflant fuivant. 

Or, pofànt que depuis-le 'commencement il s’eft écoulé un tems de t 
Mfm, àtVAc«l Tom. XXI. Rr fecon- 


'£j ' 1 


3M # 


fécondes, ’Qc qne ^ marque la hauteur d’où les corps graves tom- 
bent dans une féconde ; fi y. marque l’appliquée qui répondra alors 
à l’abfâflc AF' “ .r, U Théorie que perfonne ne révoque en doute, 


fournit pour la valeur de y cer;e équation (^t) — > 

-tV—£ 


dont TintégraLe complette eft fans contredit 

J=r:(*-WV^)-4-A: (a-- -, M 

où les carn&éres T & A indiquent des fonctions quelconques. 


L ) 


i y. Pour conftruire cette équation, je prolonge la droite 
AB de part & d’autre, j’y prends les parties A b & B// — A B, & 
je décris fur elles A V ; \ n V nt b & B v“ v ,u n, égales à la fi. 
gure initiale de la corde A MB, mais dans une fituation renverféc, 
comme on peut le voir aifémenr en regardant la figure : d’où il eft 
clair que ces courbes continuées auront en A & B leurs tangen- 
tes communes avec la courbe donnée. Dans la première conftruétion, 
j’ai commué ces mêmes courbes de part & d’aurre à l’infini, mais on 
verra bientôr, qu'il fufiit de la décrire une fois de chaque côté. Or 
ces courbes nous ferviront à déterminer la figure que la 'corde 
prendra à un tems quelconque écoulé depuis le commencement. 


^ JJ» 

Pour cet effet, j’ajoûre à la figure la ligne droite EF : ~ y - — 


M 


qui fèrvira de mefure du tems d’une fécondé, & dont la loncnteur 


Z ¥ û P 

fera aifément déterminée par la formule y — : ce qui nous 

mer en érar de repréfenrer par une ligne droire chaque tems pour 
lequel on voudra connoitre la figure de la corde. 


ï6. Maintenant lï l’on veut Avoir de chaque point de la 
corde P, à quelle diftance il A trouvera de fon lieu naturel fur l’ap- 
pliquée PM, après un tems quelconque donné de t fécondés, qu’on 

prenne 


# 315 ® 

prenne fur l’axe de part & d’aurre, du point P, les intervalles P 7 ' 
& P? égaux à ce rems, ou bien à EF. t, & apres y avoir tiré les- 
appliquées TV & t u } l’appliquée cherchée pour le point P, que 
j’tii nommée “ y t fera toujours ~ 4 TV — j — 4 ^ *'• Si le tems 
propofé t eft plus grand, furie ou toures les deux appliquées doi- 
vent être prifes dans les continuations où l’on doit tenir compte, fi ces 
appliquées tombent en fens contraire: ainfi, après le tems PT / “P? / 
on aura y zzz — 4 T / V / — {— \ t f v\ 6c après le tems PT ;/ ~ P i (/ t 
on aura y ~ — 4 T ^ V // — 4 * u v>f -> & ainfi de fuite. De là 
on connoitra aufTi a fément le mouvement de chaque point de la 
corde P pour un tems propofé quelconque, puisqu’on trouve par 
cette conflruition, de combien change fon lieu d’un intîant à l’autre. 
Ainfi rien n’efl plus aifé que de déterminer le mouvement tout en- 
tier de la corde, quelle qu’ait été fa figure initiale AMB. 

17, Pour prouver la vérité de cette conflruélion, je n’ai 
qu’à en montrer le parfait accord avec l’équation fournie par la 
théorie, & avec les conditions que la nature de la queflion renfer- 
me. Or d’abord, il eft évident que cette contraction donne pour 
le premier inflanc la même figure AMB qu’on /uppofe avoir été 1 
imprimée à la corde; 6c on en voit aulli que tous les points de cet- 
te courbe ne changent point de place au premier inftam, ou bien 
que le mouvement commence du repos, comme on le fuppofè dans le 
problème. Enfui te, l’une 6c l’autre extrémité de la corde A 6c B 
demeurera conftammcnt en repos ; car, en prenant de A ou de B 
fur l’axe de part 6c d’autre des abfciffes égales, les appliquées y font 
suffi toujours égales 6c fune négative de l’autre, de forte que leur 
fbmme efl conftamment ~ o; c’eft aulfi la raifon, pourquoi la 
courbe AMB a été continuée de parc 6c d’autre de la maniéré qui 
9 été expliquée cfdefïus; 6c puisque les deux points A 6c B de- 
meurent toujours nécefTai rement en repos, il efl impoffiblc de fup- 
poièr à la courbe AMB d’autres continuations que celles que je . 
viens d’établir. . 

18. 


Rr 2 


# 316 # 


ï8 Maintenant rien n’empêche qu’on n’envifage la courbe 
A M B avec toutes fes continuations que je viens de lui donner, com- 
me une feule courbe où il n’importe fi la ligne A M B elt une 
courbe régulière renfermée drns quelque équation, ou fi c’eft une 
courbe irrégulière décrite à la main, la régularité n’entrant ici pour 
rien en compte. Et partant, prenant une abfcifle quelconque AT, 
l’appliquée TV qui lui répond pourra être regardée comme une 
fonction de AT, & indiquée en forte T V ~ A: AT. Cela re- 

2 p j7 

marqué, foit pour abréger la ligne EF^l V — ~ c, & nom- 
mant l’appliquée ~y , qui répond à l’abfcifle APrr, après le 
tems “ t fécondes, on prend dans U conftruélion les intervalles 
PT”P?rrc*, d’où l’on a les abfcifTes A T ZZ x — et & 
A t — x -}— et ; & partant -les appliquées TV~ A: (x — et) 
& tv — A: (x~\-et)\ de forte que notre conflxu&ion donne 
y — k û: — et) H—' i A: C*** — I — ^ 0 : ce fi u * convient par- 
faitement avec l’équation principale ^ — c c ï puis- 

qu’on a 

0ï) =_ 7 A/:( * _cO+ f V: 0+i “ (*+«) 

& 


ce qui fbffit pour prouver la juftefle de ma conflxuélion. 


ip. Mais, pour puifèr de cette conftruélion une connoifiance 
parfaite de tout le mouvemenr de la corde, il fuffit de pouffer les 
opérations expofèes jusqu’au rems exprimé par la longueur de . la 
ri E , y. corde AB, puisque alors la corde fera réduite à une figure AnmB 
fêmbidble à celle qu’elle avoit au commencement, mais dans une 

i fitua- 


# 317 # 


fituation renverse; de forte qu’après ce tems le mouvement rede- 
vient fèmblable à celui du commencement. Pour prouver cela, pre* 
nons du point P les intervalles PT~Pf“AB: & après Je tems 


AB 

de g-p; fécondes, Je point P fe trouvera en», en forte que 

P« “KTV-J-rv). Or, prenant BQ^~AP, à caufe de AT~AQ 
& Br ~ BQ, on aura en vertu de Ja conftruétion TV~QN 
& rv“Q N ; & partant Pw~QN; d’où l’on voit que la courbe 
AnmB eft femblabte à BNMA. Par confequent, quelle qu’ait été 
la figure initiale de la corde , il elt certain qu’après le tems ’ 


zz V , Jes mêmes phénomènes du mouvement revien- 
E F a 

nent, & qu’iJ fuffit toujours de connoitre Je mouvement pour un tel 
intervalle de tems, à quoi les deux continuations Ab & Ba de la 
courbe initiale font fùffifànres. 


Solution du problème propofé, 

20. Soit comme auparavant Ja longueur de Ja corde AB”/7, Planche VI. 
fbn poids “M, Ja force de fa tenfion “F, & g la hauteur d’où 
Jes corps graves tombent dans une fécondé : & que pour mefurer- 

,2 F ap 

qui marque- 


le tems on prenne une ligne droite c ZZ V- 


M 


ra une fécondé. Suppofons maintenant, que cette corde n’ait été 
ébranlée au commencement que dans fa parrie AC, à laquelle on 
ait donné la figure A MC, tandis que Je refte CB a confervé fa fi- 
gure naturelle & reéfiligne, & qu’après avoir réduit la corde dans' 
cet état forcé, on la relâche fubitement. Cela pofé, on demande, 
quel fera Je mouvement dont la corde fera agitée dans la fuite ? 
Pour cet effet, on prendra fur la droite AB prolongée les inter- 
valles Ab ~B/î~ AB, für lesquels on décrira les courbes Ame 
6c' a (a y, femblables à la courbure initiale A MC, mais dans une fi- 
tuation renverse, pour avoir l’échelle des tems bem 

R $ dont 


# 318 # 

dont les parties^ CB & By, conviennent avec l’axe môme, de^ 
forte que les appliquées dans ces espaces font ce n fées cire nulle s. 

2t. Maintenant, par la conftrufVion expliquée ci-defTus, il 
eft aifé de déterminer le mouvement de chaque point de la corde. 
Ainfi le milieu D de Pefpace ébranlé AC étant au commencement 
àladiftance DM, s’approchera vers l’axe, & parviendra en D après 
le tems “AD: de là il pafTcra de l’autre côté de l’axe, & après 
le tems DJ” 2 AD, il fé trouvera à la difïance | dm — l D M, 
d’où il retournera de nouveau vers l'axe, & reviendra en D après 
le tems Dr “ 3 AD, où il demeurera en repos jusqu’au tems 

Dy ~ BD-+- BC ~ 2 AB 3 AD, de forte que la durée de 

ce repos elt — 2 AB — 6 AD “ 2 AB — 3 A C “ 2 B C— A C. 

De la môme tmniere, le point C montera d’abord, & après 
le tems CDrzAD, parviendra à fa plus grande diftance ~ i DM,, 
d’où il retournera en C après legems CA “ 2 AD: Ôt delà il paf 
fera de l’autre côté de l’axe jusqu’à la diftaoce iJ«t ~ J D M, 
après le tems CJ “ 3AD; enfuite il retournera tn C après le tems 
Ce " 4AD, où il repofera jusqu’au tems Cy : BC 
— 2 A B — 2 A C. Or un point quelconque P de la partie CB 
demeurera en repos 1 pendant le rems PC, après quoi il prendra le 
meme mouvement que le point C; tant que la difhinee P y cft plus 
grande que P c, ou bien PB + BC > AP+AC, ou BP>AC. 
Mais fi BP < AC il recommence plutôt à fo mouvoir. 

22. De là nous pourrons afîigncr la figure de la corde après 
un tems écoulé quelconque depuis le commencement^ dont je confi* 
dérerai les principaux inflans: 

I. Aprèsletems AD, la corde aura la figure 7, où la partie AD. 
ell droite, & 1a courbure ne (è trouve que dans la partie Dc£^ 
le poinf c étant dans ^ P^ us 6 ran de élongation. 

B. Après le tems 2 AD, la corde aura la figure AJCeFB, le» 
intervalles AD, D C, CE, EF éranc pris égaux; où les 

points 


# 3 r 9 if 

points d & c fè trouvent dans leur plus grand éloignement 
de Taxe. 

ÏII- Après le tems 3 AD, la même courbure eft avancée fur la &g. 9. 
partie DG, les parties AD & B G étant droites & 
en repos. 

IV. Après le tems 4 AD, la même courbure eft avancée for la r; £ . 
partie C H, fhppofé que 4 A D (bit encore plus petit 
que AB. 

V. Enfin, après le rems AB, la corde reçoit une figure ATNB Fig-, n. 
femblabic à la première, mais dans une fituarion renverfëe; 

après quoi les mêmes phénomènes reviennent, donc les perio* 

des s’achèvent dans le tems ZZZ AB, ou bien de Y 
fécondes. 

53. On voit donc que ce mouvement eft fort' irrégulier, 

& qu’il *«’y a aucune partie de la corde qui fafïè des ofci Dations ré- 
glées qui pmiTe ni être comparées à celles d’un pendule Ample, félon 
la maniéré de M. Bernoulli. Car chaque partie n’eft ébranlée que 
pendant quelque tems, où meme Ton mouvement n’eft rien moins 
que fémblable à celui de quelque pendule : & pendant un autre 
tems la même partie fc trouve dans un repos parfait. M. Bernoulli 
m’avoir objeélé conrre ce mouvement, que fi une partie de la corde 
avoir été en repos pendant quelque tems, il n’y aurait point de raifon 
pourquoi eHe commencerait à Te mouvoir dans un féns plutôt que 
dons un autre. Mais on n’s qu’à fuivre pas à pas la progreHion du 
mouvement, & ce dôme évanouira de foi même: outre qu’on voit 
otïJfi dans la propagation du fon par Pair, dont le calcul eft fondé for 
les mêmes principes, que les ébranlemens propagés ne fè continuent 
que dans un ficus, pendant que la première agitation fè répand en 
tout féns. 

Ce»- 



Fig. il. 


Fig. ij. 


Fig. 14. 


# 320 ÿ 

Confidération du C(ts y où la corde n\a été ébranlée 
que dans fon milieu. 

24. Soit AE encore la même corde que j’ai confédérée jus- 
qu’ici, dont au commencement la partie du milieu CD ait été dé- 
tournée dansla courbe CMD, les deux autres parties AC & BD 
ayant été confervées dans leur état naturel j 6e que de cet état forcé 
la cordé foit relâchée fubitement. Donc, pour en déterminer le mmi- 
vement, je prolonge la corde de part & d’autre en a ôt en forte 
que Ab ~ Bar “ AB, 6c fur ces parties prolongées je décris dans 
une fituation renverfée les courbes cm J 6c y y. femblabics à U 
courbe CMD. Pour rendre la c.hofe plus claire, je fuppoferai cha- 
que partie AC, CD, & BD, précifëmenr le tiers dé U corde entiè- 
re AE, Enfuite, foit O le 'milieu tant de la cordc que de la partie 
ébranlée CD, & je conçois la courbe CMD compofee de deux 
parties égales &femblables, CM & DM On voit bien que je ne 
fais ces fuppofitions que pour faciliter les conftruétions fui van tes, & 
les rendre plus évidentes. 


25. Concevons la corde divîfée en fix parties' égiles ■aux 
points E, C, O, D, F, & prenant la corde entière AE ~ iï, 

pour exprimer le tems de V fécondés, après chaque fixicme 

partie de cé tems, la corde fera réduite aux figures fuivantes : 


I. Après le tems ~ £ AE, les parties EO 6t F O feront cour- 
bées en haut, les éloignemens de Taxe n’étant que la moine de 
ceux de la courbé CMD, 6c les parties AE & B F fe trou- 
veront encore en repos. L’angle en O ne doit pas choquer, 
puisque l’inflexion n’y eft qu’infiniment petite. 

'U. Apres le tems — --J-AB, ces deux courbures feront avancées- 
jufques aux exrrémités, & feront encore tournées en haut fur 
les parties AC ôc BD, la partie du milieu CD étant droite 
& en repos. - - 

nr. 


Fîg. ir 


# 321 ' # 

III. Après le rems rz \ AB, toure la corde fe trouvera dans là 
position naturelle & rectiligne, mais les parties AC & BD 
auront un mouvement pour fe courber en bas, celle du milieu 
CD demeuranr encore en tcpos. 

IV. Après le rems ~ yAB, les parties AC & BD feront cf* Fig. rf. 
feftivement courbées en bas, celle du milieu CD étant en- 
core droite. 

V. Après le tems “ $ AB, ces deux courbures fe rapprocheront Fig. 17. 
vers le milieu O, les parties Ali &, B F étant droites & 

en repos. 

VI. Enfin, après le tems ~ AB, toute la corde fe trouvera dans Fig. tj 
un état femblable à celui du commencement, mais dans une fi- 
tuation renverfée. 


26. Ces deux cas ne lai fient plus aucune raîfon de douter, 
que les cordes ne fbyertt fufèeptibles de mouvemens très irréguliers, 
qu’on ne fauroit comparer avec les ofcillaiions d’un pendule, ni re- 
garder comme un mélange de plufieurs vibrations Amples & réguliè- 
res. Dans ces cas donc, le fon doit être très impur, & quafi variera 


tout inftant; cependant, puisque toujours après le tems zr V — — , 

~ h g 

la corde retourne dans le même étar, & que ces périodes (ont réguliè- 
res, nonobftam les agitations irrégulières de chaque partie de la corde; 
le fon principal de la corde fera néanmoins le même que fi les vibra- 
rions étoient régulières, quoiqu’on y apperçoive quelque bruit fort 
désagréable. Cet accident ne doit pas être regardé comme unique- 
ment attaché aux cas que je viens de développer, mais il eft au(Iï rrès 
poffible, lors qu’on ébranle la corde dans toute fon étendue, ce que je 
me propofe de faire encore voir, pour mettre la Théorie à l’abri de 
toute nouvelle objection. 


S s 


êfïtm. àt l'Aol Tcm, XXI. 


D(vt* 


PlaticlieVII. 
Vis. < 5 * 


# 3 « # 

Développement ■ d’i cas où la cor le 'a reçu au commencement 
h figure A pqrsiR (Fig. 15».) 

27. Dans ce cas, je fuppofe l'intervalle AF deux fois plus 
grand que B F, & je divife route la corde en fix parties égales aux 
points C, D, E, F, Gj pour rendre la conftru&ion plus évidente. 
Cette figure a donc deux ventres inégaux AF de B K; ce qui eft 
fans contredit un cas qui ne fau roi t être compris dans la fo lut ion de 
M. Bernoulli. Cependant on verra que ce mouvement participe 
beaucoup de celui que cet iîluftrc Cïéomctre a atiigné aux cordes à 
deux ventres: la différence n’étant, finon que le mouvement de cha- 
que élément de la corde eft irrégulier dt tout à fait différent de celui 
d'un pendule. Mais, nonobftant cette irrégularité, toute la corde re- 
tourne à un état femblable à celui du commencement après le tems “ 

y -^-fécondés, que j’exprime ici par la longueur de la corde AB: 
îF^ 

or, pendant ce tems presque toutes les parties de la corde achèveront 
deux vibrations, mais qui font d'aurant plus inégales entr’elles, que les 
deux ventres du commencement AF, & B F, auront été inégaux 
entr’eux. 

28. Ayant donc continué la figure initiale d’une manier* 
renverfée fur les parties prolongées Ai> & B/i, ma conftruéfion 
fournira pour les inftans principaux fui vans les figures que je m’en 
vai rapporter: 

I. Après le tems AC ZZ ^AB, la corde aura la figure repréfen- 
tée fig. 20. où le premier ventre s’étend ju/qu’en G, < 3 c la par- 
tie B G eft réduire dans fa fituation naturelle reéfiligne. 

Fig. ai. II. Après le tems AD zz f-AB, la partie AD eft droite, ôc Fàu* 
tre BD a un ventre courbé en haut. 

111. Après le tems AE “ &AB, les deux ventres deviennent 
égaux, l’un AE étant tourné en bas, & l’autre BE en haqt. 

IV. 


ïig. 22 , 


# 3^3 # 

IV. Aprçsle tems AF ~ JAB, il y a un ventre AF tourné %. n. 
en bas, & la partie B F elt droite. 

V. Ap'ès le tcms AG “ £AB, la partie AC eft droite, & Fi?- *4- 
l'autre BC à un ventre rournê en bas. 

VI. Après le tems A B, la corde reprend la figure du commence- Fig. 
ment, niais dans une fiiuation renvcrfëe. 

29. Depuis le tems ”AB la corde reprendra dans un ordre 
renverfe les memes figures qu’elle a eues aux tems A B, i A B Ôte. 

Ôt enfin après le 'tems ~ 2 AB elle fe trouvera parfaitement rétablie 
dans fon état premier (fig. 19.): pendant lequel tems elle aura ache- 
vé deux vibrations entières. Mais durant chaque vibration enricre, 
dont le tems eft m A B , les différentes parties de la corde feront 
portées d’un mouvement tout particulier. Car le point C paffe 
deux fois par l’axe, d’abord après le tems \ AB & enfuite après le 
tems ■£■ A B, la différence étant — £ A B. Mais quoique ce point C 
demeure après le premier partage au dertous de l’axe pendant le rem-, 

“ £ AB, après le fécond paffage il ne demeure au deffus de l’axe 
que pendant le tems ~ A B. Enfuite il fè trouvera encore au dcfïbus 
pendant le tems & AB, mais depuis il s’arrêtera au deffus pen- 
dant le tems [AB: de forte que les intervalles de tems entre les 
paffages fueceffifs du poinr C par l’axe font comme les nombres 
3, 2 > 3> 4) 3i 2 ' 3> 4 & c * & partant ce poinr paroitra, pendant le 

tems 2 A B, achever 4 vibrations, mais inégales entr'elles. 

30. Une femblablc irrégularité régné auflî entre les parta- 
ges fuecertlfs par Taxe A B, du point G, mais les points D & F de- 
meurent pendant des intervalles de rems égaux ~£AB alternative- 
ment au deffus & au deflous de l’axe, de forte que ees deux points 
femblent achever 3 vibrations pendant le tems “2 AB. Pour le 
point du milieu E, il demeure toujours pendant un tems — AB 
au*deffus & d’autant au deffous de l’axe. Donc pendant que la cor- 
de emiere rend un certain fon principal, quelques uns de fes é!é- 

Ss 2 mens 


# 324 # 

mens fèmbîeront rendre un ton plus haur d’une oflave, d’autres don- 
neront un ton plus haut d’une quinte: tandis que d’autres produifènt 
le même Ton principal. Cependant il faut bien remarquer que, dans 
ce cas, l’oclave produite par les points C & G eft très impure, 
puisque les intervalles de te ms que ccs points demeurent fuccelfi- 
ventent audcfïhs & au deflous de l’axe, font fort inégaux enrr’eux, 
puisque ce ne font que les termes “3 de la ferle 3, 2, 3, 4, 3, 2, 
3, 4 &c. qui s’accordent avec l’octave, tandis que les termes 2 & 4 
concourent à produire la quinte & la douzième. 

51. De là on jugera aifément, quelles irrégularités doivent 
fè trouver dans le mouvement des cordes, lorsque la figure initiale 
aura plufieurs ventres inégaux entr’eux : lesquelles n’empêcheront 
pas pourtant, que le mouvement dans fa totalité ne fbir très régu- 
lier: on comprendra aufïî que plufieurs tels mouvemens peuvent 
être réunis enfemble dans la même corde , & cela de la même ma- 
niéré que M. Bernoulli a fait voir, que plufieurs mouvemens régu- 
liers s’y peuvent trouver à la fois. D’où il faut conclure, que la 
fblution de M. Bernoulli ne renferme que les mouvemens réguliers, 
oui peuvent avoir lieu dans les cordes vibrantes : & on ne fauroît 
plus dourer que les cordes ne foient fufceptiblcs d’une infinité d’au- 
tres mouvemens irréguliers, que ma méthode découvre tous fans au- 
cune difficulté. Cette meme conclufion regarde aufli M. d’Alcm- 
bert , entant qu’il prétend que l’Analyfe ne s’étend qu’à la détermi- 
nation des mouvemens réguliers, quoiqu’il n’en nie pas l’exiftence. 

32. Mais cette même circonftance, -qu’on a trouvé moyen 
d’appliquer l’Anaîyfe à des cas, qui en ont paru entièrement exclus, 
lèmble mériter l'attention de tons les Géomètres. Jusqu’ici on n’a 
pas cru que l’Analyfc fut applicable à des lignes combes mécani- 
ques, qui ne fàuroient être renfermées dans aucune équation, ou 
qui font deftiruées de toute loi de continuité. Cela eft bien vrai à 
l’égard de cette partie de l’Anaîyfè qui ne s’occupe qu’à des fonc- 
tions d r une feule quantité variable, à laquelle on s eft presque uni- 

que- 


# 3^5 # 

quement appliqoé jusqu’ici : mais dès qu’on traite des fondions de 
deux ou plulieurs varubles, comme dans le cas des cordes vibran- 
te, l’appliquée y doit être confédérée comme une fonction non feu- 
lement de l’abfcifTe jt, mais aufli du tems r; cette partie de l’Analyfè 
eft très cfTentiellement differente de la précédente, Ôc s’étend même 
à des Ponctions deffituées de toute loi de continuité. Cette partie, 
dont nous ne connoifïcns presque encore que les premiers élémens, 

■mérite fans doute que tous les Géomètres réunifient leurs forces 
pour la cultiver. 

DÉMONSTRATION RIGOUREUSE 

DE MA CONSTRUCTION OU PROBLEME DES CORDES 

VIBRANTES. 

33. D’abord, j’envifage le problème des cordes vibrantes 

fous ce point de vue, que h figure quon a imprimée au commence- 
ment à la corde , étant donnée , il faut déterminer le mouvement que 
recevra la corde après avoir été relâchée fubitement : où l’on fuppofè, 
que la figure initiale ne s’écarte qu’infiniment peu de fon état na- 
turel & reétiiigne. Avec cette reftriétion, je regarde la figure ini- 
tiale comme une courbe quelconque, fans me mettre en peine, fi 
elle peut être exprimée par quelque équation, ou fi elle efl décrite 
d’une maniéré irrégulière quelconque. Dans l’un & l’autre car, il eft 
également certain que, dès que la corde fera relâchée, elle fera aufli 
mife en mouvement ; & la recherche de ce mouvement doit être 

regardée fans doute comme un problème très réel, qui mérite à 
tous égards l'attention des Géomètres. Si I’Analyfe eft fuffifanre à 
Je réfoudre ou non ? c’eft une queftion rout à fait érrangere ; & fi 
la fo lut ion eft impoliible en général, Pimpofïibiliré ne fé ma nife fiera 
que trop rôt dans les recherches qu’on doit entreprendre pour ar- 
river à la fbïunon. 

34. Soir donc la longueur de la corde AB“j, que je Fig. atf. 
«tûppofe par cour également épaifïè, fon poids- ZZ M, & la force 

Ss j dont 


# 326 # 


dont elle efl tendue rr F. Cela pofé foir AMB la figure, qu’oa 
a dabord imprimée à la corde, & qu’aprôs un rems quelconque de / 
féconde elle ait été réduite à la figure AV B, qui comme l’initiale 
doit née eflaire ment pafler par les deux termes  & B, où la cor- 
de efl fixée. Donc, pofant pour cette courbe A Y B une abfcifie 
quelconque AXzrr, de l’appliquée XY “y, il efl évident que y 
fera une certaine fon£lion tant de l’abfcifTe AX ~ x que du tems f, 
de forte que l’appliquée y doit être confidérce & traitée comme une 
fonction des deux variables x & f, d’où l’on comprend ce que figni- 


fient ces formules différentielles (^),(^') & 

Il efl bon de remarquer ici , que la formule (^y~^ exprime la vi- 


tefie dont le point Y s’éloigne de Taxe, & que cette vire fTe efl dé- 
terminée par l’efpace qui en feroir parcouru dans une fécondé. 


35. Pour déterminer la nature de cette fonélionjy, les prin- 
cipes de Mécanique foumiffem cette équation différentielle du fécond 
fàây\ 2F ap fddy\ 4 

degré J — — \J 7 * J* ou g marque la hauteur d’où 

un corps pefimt tombe dans une fécondé. Je ne m’arrête poinr à 
démontrer cette formule, puisqu’elle efl reconnue julte de tous ceux 
qui ont traité cette matière, (ans aucune conteflation. Auffi l’inté- 
gration ne fauroit être révoquée en doute, d’autant plus que M. 
d’Alembert lui-même en efl le premieur Inventeur. Or, pofant 
2 F /7 F 

pour abréger — • 3 ft, l’intégrale complété de cette équa- 
tion efl y — F: (x cf) A: (x — et) où les ca- 

raéleres T & û marquent des fondions quelconques des quanti- 
tés x -f- cf & x — et . Cette double univerfàliré elî in- 
troduite par la double intégration qui y a conduit. Car, dans ees 
fortes d’intégrations, telles fon&ions indéterminées tiennent lieu des 

conllan- 


# 3 27 # 

confiantes aibitraircs, que les intégrations ordinaires renferment 1 . 
Ce qui di fringue e fient i elle ment l’intcg ration des fonctions à deux 
variables de celles qui n'en renferment qu'une feule. 


3 6. On ne fnuroit fe former une plus jufte idée d'une telle 
fonction générale qu’en concevant une courbe quelconque, décrite 
fur l’axe AO, où prenanr line abfcifie égale à .r -fi et ou à x — rr, 
l’appliquce repréfentera U dite fonction. Ainfi on n’aura qu’à con- 
cevoir deux telles lignes courbes, l’une pour repréfenter la fonction 
marquée par le caractère F, & l’autre pour celle du caractère A; 
Remployer ai ces mêmes caractères pour défigner ces deux courbes. 
Ayant donc décrit deux telles lignes courbes r & A fur l’axe AB, 
qu’on prenne dans la première F l’appliquée qui répond à rabfcifiê 
X -f- ct 7 & dans l’autre A l’appliquée qui répond à l’abfciffe x — cf: 
alors la fomme de ces deux appliquées fournira une telle valeur 
pour y t qui convienr infailliblement à l’équation différentielle 



d’où l’on voit que cette fôlution efr infi- 


niment générale, puisqu’on peur tirer les deux courbes F & A à 
volonté. Je remarque feulement que, puisque 1 a valeur de y doit 
être extrêmement petite, on n’a qu’à multiplier la fomme des deux 
dites appliquées par une fraétion très petite, vu qu’il eft clair que, 
fi à l’équation différentielle fatisfait une valeur y ~ u, il fmisfera 

fi 

aufli la valeur y — , & en général jy zz mtt t de forre qu’on 

1 OQ O * 


peut faire le coefficient m au/fi petit qu’on voudra. 


37, Maintenant il ne s’agit que déterminer les deux cour- 
bes T & A, qui jusqu’ici ont été arbitraires, en forte qu’elles con- 
viennent aux conditions que notre problème renferme. Il en efl 
ici de même que de tous les problèmes dont la folurion fè trouve 
par des intégrations, où les confiantes arbitraires que chaque inté- 
gration introduit dans le calcul , doivent toujours être déterminées 

par 


# 3 2 8 # 

par les conditions du problème. Or, dans notre c^s, la principale 
condition eft, qu’au commencement 1 , ou pofant r ”o, la figure de 
la corde provienne précifemcnt la môme que celle qui eft prefcri- 
te AMR Pofons donc le tems t ” o, & la valeur de y, qui 
fera y ~ F: jr — | — A : x 7 doit devenir égale à l’appliquée XM 
de la courbe donnée: ou bien les deux courbes T & A doivent être 
telles, que la fomme de leurs appliquées, qui répondent à la 'même 
abfciffe AX~jt devienne ~XM. Conficiérant donc l’une des 
deux courbes F& A comme donnée, l’autre fora déterminée par 
cette condition: il faut donc chercher encore une autre condition 
renfermée dans le problème, pour déterminer entièrement toutes 
les deux courbes F & A 


3 g. Cette autre condition «ft contenue dans la maniéré 
dont la corde eft relâchée de fon érat initial forcé, puisque nous 
fuppofons que dans cet inftant la corde n’a encore aucun mouve- 
ment. De là, prenant le tems t ” o, il faut que la vitefTe de chaque 
point de la corde évanoui/Te. Or, en général après le tems r, la vitefTe 

du point Y eft ~ ou bien “ cP: (x+cfy—cb/: (x—c ï), 


où T' & A y marquent les fondions différentielles, en forte que fi 

nous pofions F: v> nous aurions X f : u — — ainfi F' & hJ 

feront repréfentés par des courbes, dont les appliquées font les tan- 
gentes des angles dont les élémens des courbes F & A font incli- 
nés à l’axe AB. Pofons maintenant le tems t “0, & la formule 
^ jv. x — c A' : x exprimera la vitefTe du point M de la corde au 
Commencement, laquelle devant être “o, nous aurons F': x~&':x. 
Donc, puisque ces deux fondions différentielles font égales enrr’elles, 
les intégrales F : x & A: x le feront aufîi, vu qu’elles ne diffé- 
reront que d’une quantité confiante, ce qui revient au môme que fi 
nous pofions F : x zn A : x. 


39- 


fs 3*9 # 

39. Donc, puisque la première condition exige qu'il (bit 
T: x — |— A: x ZZ XM, & la féconde T: x ZZ A: x, toutes les 
deux courbes arbitraires fc trouvent maintenant déterminées par l'état 
initial, & on aura T: x “ A: x ~ fXM. Ces deux courbes 
feront donc égales entr elles, & leurs appliquées partout égales à la 
moitié des appliquées XM de la figure initiale, de forte que cette fi- 
gure nous fournit l’une & l’autre des courbes T & A. Ou bien la 
figure initiale elle-même A MB pourra fervir à repréfenter les deux 
courbes T & A, pourvu que nous établiflions notre équation fous 
cette forme: 

XY~yzz-§T : C ;r + É' 0 'fïr:(:r — et) à cauiè de A zz T, 

où les formules T: (x — |— et) & T: (x — et) marquent dans 
la courbe initiale AMB les appliquées qui répondent aux abfcifles 
x — |— et & x — et. De là on connoitra auffi aifémenr la vitefi 
fè du point Y, tendante à l'éloigner de 1 axe par cette équation 

G® = i r - - f r - - ct) - 

40. Pour trouver donc, après un rems quelconque de t fé- 
condes, l’état de la corde, ou bien la poficion de chacun de fes points, 
qui dans l’état naturel fe trouvoit en X, on prendra fur Taxe de part 
& d’autre de ce point X les intervalles XT zz Xf zz et , pour 
avoir- les abfciffes AT ZZ x — {— ct^ & At zz x — et. 
Aux points T & r, on tirera les appliquées TV & tv à la courbe 
initiale de la corde AMB, & la moitié de la fomme de ces deux ap- 
pliquées donnera l’appliquée cherchée XY, pour la figure que la 
corde aura à préfènt. Mais ici on rencontre une grande difficulté, 
lorsque l’un ou l’autre des points T & r, ou tous les deux, tombent 
au delà des points A & B, fur l’axe où la corde elt fixée: on voit 
bien que, pour cet effet, il faut conrinuer de parc & d’aurre la courbe 
initiale AMB} & comme toutes les objeftions qu’on a faites à ma 
conflxuftion, roulent fur la maniéré de cette continuation, je tâcherai 

Mà». dt V/lcai. Tom, XXI. T t de 


# 330 # 

de la mettre entièrement hors de doute, en rétabüfïant de la manié- 
ré fuivame. 

41. Si la longueur de la corde AB étoit infinie, cette difficulté 
évanouiroit; concevons donc la corde continuée à Pinfini des deux 
côtés, Retendue par iamême force F; ôc nous aurons à examiner cerre 
queftïon, s’il ne fèroit pas pofiïble de donner à cette corde infinie une 
telle figure iniria’e, que la partie AB en reçoive le même mouve- 
ment dont elle eft agitée actuellement? Car, fi cela eft polfible, nous 
ii ‘aurons qu’à prolonger dans la penfec Sa corde AB à l’infini, 6c lui 
fuppofer ladite figure initiale par roure fa longueur ; d’où il fera aifë 
enfuire de déterminer le mouvement de la partie A B pendant toute 
fil durée. Je me flaire que ce.tre fiétion, dont on fait très fouvent de 
femb ables presque dans routes les recherches, ne Trouvera aucune 
contradiérion; aulîi ne décidé ■ je pas encore fi cette nouvelle qiieftion 
eft pofiïble ou non ? Mais, fi elle elt pollib'e, perforine ne faurok plus 
nier que cette confidéraiion ne nous conduife à la connoiflance du 
véritable mouvement donc notre corae AB fera ugitée, 

4:, Or la corde AB n’eft terminée aux poims A & B, 
qu’entant que ces points demeurent immobiles pendant tout le mou- 
. vcment; donc, quand même In corde fèroit étendue au delà des ter- 
mes A ôe B, mais que fon mouvement fèroit rel, que les points A 
& B demeuraient toujours en repos, la partie AB auroit fans doute 
le même mouvement que fi la corde AB éroir fixée aux points A 
6c B, &. que les parties prolongées en fu fient entièrement rerran- 
citées, pourvu que la même tenlion y foir conftammenr onfèrvée. 
Maintenant, après avoir établi ce principe inconrelhble, il eft évident 
Planthc V. que, Ii la corde AB étoit feulemenr prolongée en a 6c A, de forte 
Fi g' + que AA rr B/i “ AB, & qu’on eût donné aux parties prolon- 
gées A b 6c B les figures renverfées de celle de A MB, comme 
j’ai expliqué ci-dcfilis; les poims A & B demeureroiem en repos, 
du moins tant que les points T & î ne paflenr point au delà des 
termes a & i> : & il eft bien certain que le mouvement de- AB fera 

pré- 


précisément le même que li les parties A b & B/7 croient re* 
tjanchées. 

43. On ne fàuroit donc plus avoir le moindre doute, que 
par la nature meme de la queftion la courbe AMD ne doive être con- 
tinuée au moins par les inrcrvallcs Ab ôc B /7, félon la loi que j’ai 
établie ci-deflus; ôc les râlions que j’ai alléguées pour ces deux inter- 
valles, ont également lieu pour tous les autres qu’on y voudra ajourer 
au delà à l’infini. Ainfi, quand même la courbe A MB feroit régu- 
lière 3 c auroit fa continuation naturelle, comme fi c’étoit, par exem- 
ple, un arc de cercle , cette continuation naturelle n’eiïtreroit ici pour 
rien en compte, Ôc il faudroit toujours furies lignes Ab Ôc Btf dé- 
crire de femblables arcs de cercle. Quelque choquant que cela puiffe 
paroi tre à quelques Géomètres, j’efpere qu’on ne trouvera plus rien 
à reprocher à ma conftruéHon, à laquelle on ne fauroit plus refufer la 
plus grande généralité, puisqu’elle s’étend également à toutes les figu- 
res potlibles, dont- la corde AB efl: fufcepiible' au commencements 
lin effet, qui pourroit nier qu’il ne fût polfible de donner d’abord à la 
corde la- figure A MC B, compofee par exemple d’un arc de cercle 
A M C, Ôc d’une ligne droite C B , quoique l’une de ces deux parties 
ne foie certainement pas la continuation naturelle de l’autre. ’ 


44. Mais, quoique cette conftruéïion foit rirée de l’équation 

intégrale y rz T : (x -}- et) -+- A; (x et) qui renferme 

la folution du problème, M. d’Alembert femblc nier qu’elle fatisfaf 


fè a l’équation différentielle du fécond degré 


(§) 


(d^ 

ce { c 

\./.r 2 


)• 


que la Théorie fournit immédiatement. H allégué quelques difficul- 
tés, auxquelles il faut encore- répondre. Or d’-abord, comment peut- 
on douter de la bonté d’une conflruéfion ,, lorsqu’elle efl parfaitement 
d’a:cord avec l’équation intégrale,, qui contient la folution du proble^ 
me, ôc cela, fous le prérexte qu’elie ne convient pas parfaitement à le- 
quation différentielle, doù'finrégraleefi tirée.. On a -déjà ré fol u tant-' 

Tt 2 de 


Planche VI, 
Fig. 6 . 


® 332 # 

de problèmes par le moyen des intégrations, & perfonne ne s’eft 
encore avifô de révoquer la folution en doute; d’autant plus que c’eft: 
toujours des équations intégrales, qui fourniffent les conftruftions, 
& tant qu’on n’y peut pas parvenir, on ne fauroit ie vanter d’une 
folution parfaite. 


4 y. Mais voyons quels font les inconveniens qu’on ren- 
contre eu remontant de notre conftruflion aux formules différen- 
tielles du premier ik fécond degré. Soit donc A MB la figure ini- 
tiale donnée à la corde AB, à laquelle on air conlfruit fur la pro- 
PiaTiefieVîI. longation B* “ AB la figure iemblable am B dans une fituation 
Fig, 17, re nverfée : de forte qu’après le tems t en prenant des intervalles 
PT — Pi « et) le point P pris à la diftance AP — x fè trou- 
ve éloigné de Taxe au deffus de l’intervalle y — \ T: et) 

-H | T: (jr-ef) ZZ }H» + TV), i caufe de TV — T: AT 
& — tv ZZ T A ty puisqu’on a en général PM — T: AP— T:jt. 
Maintenant, qu’on conftruife la courbe A' M' B' 1 w / en forte 


que fon appliquée foît — P IVP 


</.PM ATix _ 

i/.AP àV ~ 


ce qu’on fera en prenant une certaine ligne pour unité. Donc, 
puisque 


& 0l) = j P: (*-W0 — | H: (x — ct) 


on aura par cette nouvelle courbe : 

Q)=t(-^ + TV 0 & 0fj) — j (r-tv'-TV') 

dont la derniere formule exprime la viteffe du point P de la 

«orde dirigée en haut après le tems t. Au refte, il eft évident que 

les 


® 333 # 

les appliquées de ces courbes, qui tombent dans la figure au défions 
de l’axe, doivent être prifes négatives. 

4 é. Cetre ligne A / M & 7 B y m f a 1 efi: bien tirée dans la figure 
d’un trait continu ; mais on objefle que fi la courbe A M B n’étoit 
pas continue, ik qu’eile eût des angles , il en rcfulreroir des inter- 
ruptions dans la ligne A / M' B' m* nK Mais comme la première 
condition de notre problème exige, que non feulement toutes les 
app'iquées de la courbe A MB, mais auffi les angles dont tous 
fes élémens font inclinés à l’axe, foient infiniment petits, de tels an- 
gles qu’on veut fuppofer dans la figure A MB, font déjà exclus, 
n’étant au plus qu’in fmiment petits. Mais, quand même il y auroit 
quelque interruption dans cette fécondé ligne, elle n’affeeîeroit qu’un 
clément, & partant ne troublcroit pas la folution. Un tout cas, on 
n’auroit qu’à emouffer infiniment peu les angulofités dans la figure 
A M B, pour faire évanouir cet inconvénient, & par cela même, 
qu’on n’auroit changé qu’infiniment peu la figure A M B, toutes 
les conclufions qu’on en tire , demeureront toujours les mêmes. De 
telles objeflions font entièrement femblables à celles qu’on a d’abord 
fartes contre le calcul des infiniment petits. 

47. Or ces inconvénicns deviendront encore beaucoup plus 
confidérables quand on remonte aux différentiels du fécond degré, où il 
faut décrire une nouvelle ligne A! , W l B lt m n a ,t de la précédente 
de la même maniéré que celle-ci a été formée de la fi- 
gure AMBmm. Car, puisque la ligne A'M ' W m* n' peut avoir 
en B' un angle plus conlidérable, on obtiendra deux lieux pour le 
point B (/ , l'un au defîous & l’autre au • deffus de l’axe, ce qui femble 
rendre incertaines les formules différentielles du fécond degré qui ren- 
ferment les accélérations inffanranées. En effet, pour le point de la 
corde P, après le tems f, on aura par cette troifieme ligne: 

(^) = tr": (x+ct) + i r": (x-ct) - i (lu 11 — TV 11 ), 

& (s?) = 7 r " : ^+ rf ) + 7 ^ (x-ct)= (aa_tv"> 

T t 3 Donc 


# 3M # 

Donc, fi le point t tomboit en B, on feroit incertain, • fi pour tv f, t 
on devroit prendre l’appliquée pofitive ou négative B B". Mais, 
quoiqu’on y commette quelque erreur, cette erreur n’affeéfera qu’un 
feul élément, & fera par conféquent fans aucune conléquence, étanr 
toujours infiniment petite. 


48, D’ailleurs,, nonobflanr cette incertitude, on aura-roujours 


/ddy\ ( d dy\ 

ouvertement = 


ce qui étant l’équation princi- 


pale, à laquelle la Théorie conduit immédiatement, il eft évident que 
notre conftruéHon lui fatisfait auflî bien qu’à l’équation intégrale qui en 
a été conduite. Et après tout cela, on- n’a qu’à émouffer infiniment 
peu l’angle B' dans la féconde ligne, pour réunir les deux points B" 
& B w en B, & faire évanouir par ce moyen toutes les difficultés. 
Le changement qui en réjaillira fur la première courbe. AMBmo, ne 
fera aufli qu’infiniment petit, & partant ne changera rien dans l’état 
initial de la corde, d’où la détermination du mouvement a été tirée. 
Toutes ces objcûions font donc précifement de la même nature, que 
celles qu’on a faites autrefois contre le calcul différentiel, en lui re- 
prochant que dans certains élémeus quelques particules n'évanouiffenr 
point, qu’on néglige néanmoins à l’égard des autres quanrirés, 
Comme aujourd’hui ces doutes font entièrement dilfipés, ceux qu’on 
fait contre cetre détermination du mouvement des cordes, tomberont 
suffi d’eux- mêmes. 



ECLAIR- 



I 

I